Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a （a∈R）
（Ⅰ）解關于x的不等式g（x）＞6；
（Ⅱ）若函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，分類討論，可得不等式的解集；
（Ⅱ）函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方，等價于2|x-1|+|x+3|＞a恒成立，求出函數的最小值，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）不等式g（x）＞6，即|x+3|＜a-6
當a＞6時，6-a＜x+3＜a-6，∴3-a＜x＜a-9
當a≤6時，不等式無解；
（Ⅱ）函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方，等價于2|x-1|+|x+3|＞a恒成立，
令y=2|x-1|+|x+3|，則y=

-3x-1，x＜-3 -x+5，-3≤x≤1 3x+1，x＞1

∴y_min=4
∴a＜4．

點評：本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于基礎題．