Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在BC上，AD⊥C₁D，
（1）求證：AD⊥面BCC₁B₁．
（2）如果AB=AC，點E是B₁C₁的中點，求證：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

證明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁為三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC
又∵AD?平面ABC
∴CC₁⊥AD
又∵AD⊥C₁D，C₁D∩CC₁=C₁，
∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）連接DE，
∵AB=AC，
∴D為BC的中點，又由E是B₁C₁的中點，
∴DE∥A₁A且DE=A₁A
∴四邊形A₁ADE為平行四邊形
∴A₁E∥AD
又∵A₁E?平面ADC₁．AD?平面ADC₁．
∴A₁E∥平面ADC₁．
分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在BC上，AD⊥C₁D，我們根據直三棱柱的幾何特征，結合線面垂直的判定定理，易得到AD⊥面BCC₁B₁．
（2）由已知中AD⊥C₁D，AB=AC，點E是B₁C₁的中點，我們易判斷四邊形A₁ADE為平行四邊形，進而得到A₁E∥AD，再由線面平行的判定定理，即可得到A₁E∥平面ADC₁．
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間中直線與平面平行或垂直的判定定理，及直三棱柱的幾何特征是解答本題的關鍵．