Question

（2007•青島一模）在三棱錐M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．
（Ⅰ）求證：AM⊥BC；
（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直線AM與CN所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明CM⊥平面ABC，然后利用線面垂直的性質證明AM⊥BC；
（Ⅱ）根據異面直線所成角的定義求直線AM與CN所成的角．

解答：證明：（I）∵NA=NB=NC，
∴N是△ABC外接圓的圓心，可得∠ACB=90°，即BC⊥AC…（2分）
∵CM⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴MC⊥BC…（4分）
∴BC⊥面MAC
∴BC⊥MA…（6分）
（II）取MB的中點P，連結CP，NP，
則NP∥AM，所以∠PNC是直線AM與CN所成的角，…（8分）
令AN=NB=NC=1，
∴AM=2，NP=1，CP=

1

2

MB=1
在△CPN中，CP=NP=CN=1…（10分）
∴∠PNC=60°…（12分）

點評：本題主要考查線面垂直的性質以及異面直線所成角的求法，要求熟練掌握相關的定理．