Question

某產品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出

b

2n

千克，（n∈N^*）．記廣告費為n千元時，賣出產品數量為S_n千克．
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n；
（3）當a=50，b=200時廠家應生產多少千克這種產品，做幾千元廣告，才能獲利最大？

Answer 1

分析：（1）當廣告費為1千元時，銷售量s1=b+

1

2

b=

3b

2

，s2=

3b

2

+

b

4

=

7b

4

     
（2）設s₀表示廣告費為0千元時的銷售量，即s₀=b，s1-s0=

1

2

b，s2-s1=

b

22

…s_n-s_n-1=

b

2n

，疊加可求
（3）設獲利為T_n，則有T_n=as_n-1000n=50×200(2-

1

2n

)-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n，欲使T_n最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入解不等式可求n

解答：解：（1）當廣告費為1千元時，銷售量s1=b+

1

2

b=

3b

2

        （2分）
當廣告費為2千元時，銷售量s2=

3b

2

+

b

4

=

7b

4

     （4分）
（2）設s₀表示廣告費為0千元時的銷售量，即s₀=b
由題意得s1-s0=

1

2

b
s2-s1=

b

22

…
s_n-s_n-1=

b

2n

，（6分）
以上n個等式相加得sn-s0=

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

 （7分）
即有Sn=b+

b

2

+…+

b

2n

=

b(1- 1 2n+1 )

1- 1 2

=b(2-

1

2n

)（9分）
（3）當a=50，b=200時，設獲利為T_n，則有T_n=as_n-1000n=50×200(2-

1

2n

)-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n（11分）
欲使T_n最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，
則

20000- 10000 2n -1000n≥20000- 10000 2n+1 -1000(n+1) 20000- 10000 2n -1000n≥20000- 10000 2n-1 -1000(n-1)

解可得

n＞2 n＜4

，故n=3．（13分）
當n=3時，s₃=375，即廠家應生產350千克產品，做3千元的廣告，能獲利最大．（14分）

點評：本題主要考查了數列的疊加求解通項公式，利用數列的單調性求解數列的最大（小）項，解題中要注意函數思想在解題中的應用．