Question

（2012•武昌區模擬）已知函數f（x）=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，b+c=2，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式，化簡函數，即可求得函數的最大值，從而可得f（x）取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，求得A，在△ABC中，根據余弦定理，利用b+c=2，及bc≤(

b+c

2

)2=1，即可求得實數a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)=（1+cos2x）-（sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

）
=1+

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=1+sin（2x+

π

6

）．
∴函數f（x）的最大值為2．
要使f（x）取最大值，則sin（2x+

π

6

）=1，∴2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴x=kπ+

π

6

（k∈Z）．
故x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

（k∈Z）}．
（Ⅱ）由題意，f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，化簡得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

在△ABC中，根據余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．
∴當b=c=1時，實數a取最小值1．

點評：本題考查三角函數的化簡，考查函數的最值，考查余弦定理的運用，考查基本不等式，綜合性強．