Question

已知二次函數,且不等式的解集為.(1) 方程有兩個相等的實根,求的解析式.(2) 的最小值不大于,求實數的取值范圍.(3) 如何取值時,函數()存在零點,并求出零點.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)   ;（3）當時有一個零點；當且時有2個零點.

【解析】

試題分析：(1)因為的解集為，所以-1和2是方程f(x)-2x=0的兩個根，得到a、b、c之間的關系，又由于方程有兩個相等的實根，所以利用判別式為0可以求出a、b、c的值，從而求出函數解析式.(2)因為函數圖像是開口向上的拋物線，所以最小值在頂點處取得，所以得到頂點的縱坐標后，讓縱坐標小于等于-3a就行了.(3)先判斷方程是不是一元二次方程，如果是一元一次方程就直接求方程的根，如果是一元二次方程就需要討論判別式，討論方程是不是有根.

試題解析：∵的解集為,   

∴的解集為,                 1分

∴,且方程的兩根為  

即，∴   2分

（1）∵方程有兩個相等的實根,即有兩個相等的實根

∴,

∴或      3分

∵,∴,   ∴                4分

（2）

∵,∴的最小值為,               5分

則,,解得,       7分

∵,∴                       8分

（3）由,得   (※)

①當時,方程(※) 有一解,

函數有一零點；         9分

②當時,

方程(※)有一解,   令

得或, ∵即，

 i)當，時，

（（負根舍去）），

函數有一零點.        10分

ii) 當時，的兩根都為正數，

當或時，

函數有一零點.        11分

ⅲ) 當時，，∴

③方程(※)有二解,

ⅰ）若,，時,

（（負根舍去）），函數

有兩個零點；  12分

ⅱ）當時，，的兩根都為正數，

當或時，

函數有兩個零點. 13分

ⅲ) 當時，，∴恒成立，

∴取大于0()的任意數，

函數有兩個零點              14分

考點：1.函數解析式的求法；2.二次函數最小值的求法；3.分式不等式的解法；4.含參方程的解法.