Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0。
（1）當時，判斷函數f（x）的定義域上的單調性；
（2）試討論函數f（x）的極值情況，若極值存在，求出極值點。

Answer 1

解：（1）函數f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞）

令g（x）=2x²+2x+b，
則g（x）在上遞增，在上遞減，

當時，
g（x）=2x²+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立，
∴f'（x）>0，
即當時，函數f（x）在定義域（-1，+∞）上單調遞增。
（2）分以下幾種情形討論：
①由（1）可知，當時函數f（x）無極值點；
②當時，f'（x），
∴時，f'（x）>0，
時，f'（x）>0，
∴時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點；
③當時，解f'（x）=0得兩個不同解

當b＜0時，

∴x₁ （-1，+∞），x₂∈（-1，+∞）
此時f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點
當時，x₁，x₂∈（-1，+∞），
f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此時f（x）有一個極大值點和一個極小值點
綜上可知，b＜0時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x₂=
 時，f（x）有一個極大值點和一個極小值點
時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點。