Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當x∈[1，2]時函數f （x ）的最大值為，求此時a的值．
（Ⅳ）當x∈[-2，-1]時函數f （x ）的最大值為，求此時a的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵x∈R，f（-x）=a^-x+a^x=a^x+a^-x=f（x）…（3分）
∴函數f （ x ）是偶函數，∴函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱…（4分）
（Ⅱ）證明：設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=
（1）當a＞1時，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則、、、
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
（2）當0＜a＜1時，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則、、、；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，對于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都為增函數．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上為增函數，則當x∈[1，2]時，函數f （x ）亦為增函數；
由于函數f（x）的最大值為，則f（2）=
即，解得，或
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x） 是偶函數且在（0，+∞）上為增函數，則知f（x）在（-∞，0）上為減函數；
則當x∈[-2，-1]時，函數f （x ）為減函數
由于函數f（x）的最大值為，則f（-2）=
即，解得，或
分析：（Ⅰ）要證明函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱則只須證明函數f （ x ）是偶函數；
（Ⅱ）對底數分類討論，利用單調性的證題步驟加以證明；
（Ⅲ）當x∈[1，2]時，函數f （x ）為增函數，利用函數f （x ）的最大值為，建立方程，可求a的值；
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x） 是偶函數且在（0，+∞）上為增函數，則知f（x）在（-∞，0）上為減函數；
則當x∈[-2，-1]時，函數f （x ）為減函數，利用函數f （x ）的最大值為，建立方程，可求a的值．
點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是靈活運用函數的單調性與奇偶性，屬于中檔題．