Question

已知雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（

15

，4）．
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；
（2）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的坐標(biāo)方程及其性質(zhì)即可得出．
（2）設(shè)雙曲線方程為

y2

m

-

x2

9-m

=1，把點(diǎn)(

15

，4)代入雙曲線方程，即可得出．

解答：解：（1）由題意得：a²=36，b²=27．
∵c²=a²-b²=9，
∴a=6，c=3，e=

c

a

=

1

2

．
∴焦點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3）．
（2）設(shè)雙曲線方程為

y2

m

-

x2

9-m

=1，
∵點(diǎn)(

15

，4)在曲線上，代入雙曲線的方程可得m=4或m=36（舍）．
∴雙曲線的方程為

y2

4

-

x2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．