Question

如圖，已知橢圓C：（a＞0，b＞0）過點P（），上、下焦點分別為F₁、F₂，向量．直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB中點為m（）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D，若曲線x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與區域D有公共點，試求m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C：（a＞0，b＞0）過點P（），∴
∵向量，∴4c²=2+（-c）²+2+（-c）²，∴c=2
又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4
∴橢圓方程為
（2）①當斜率k不存在時，由于點M不是線段AB的中點，所以不符合要求；
②當斜率k存在時，設直線l方程為y+=k（x-），代入橢圓方程整理得
（3+k²）x²-（k²+3k）x+k²-=0
∵線段AB中點為m（），∴=
∴k=1
∴直線l：x-y-2=0
（3）化簡曲線方程得：（x-m）²+（y+2）²=8，是以（m，-2）為圓心，2為半徑的圓．
表示圓心在直線y=-2上，半徑為2的動圓．
由于要求實數m的最小值，由圖可知，只須考慮m＜0的情形．
當圓與直線相切時，，此時為m=-4，圓心（-4，-2）．
當m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l'的方程為x+y+6=0，
解方程組，得T（-2，-4）．
因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，
所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=--1．
分析：（1）把點B代入橢圓的方程，利用向量垂直，及幾何量之間的關系，聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得；
（2）分類討論，利用線段AB中點坐標，結合韋達定理，可求直線的方程；
（3）把圓的方程整理成標準方程求得圓心和半徑，進而利用圖象可知只須考慮m＜0的情形．設出圓與直線的切點，利用點到直線的距離求得m，進而可求得過點G與直線l垂直的直線的方程，把兩直線方程聯立求得T，因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，利用兩點間的距離公式求得m的最小值．
點評：本題考查橢圓與直線的方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，同時考查了知識的綜合運用和數形結合的方法的應用．