Question

【題目】在直角坐標系中，曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若點是圓上一動點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設，根據題意可得點的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動點的軌跡的方程；

（2）設出切線的斜率分別為，切點，，點，則可得過點的拋物線的切線方程為，聯立拋物線方程并化簡，由相切時可得兩條切線斜率關系；由拋物線方程求得導函數，并由導數的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結合點滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.

（1）設點，

∵點到直線的距離等于，

∴，化簡得，

∴動點的軌跡的方程為.

（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設為，切點，，

設點，過點的拋物線的切線方程為，

聯立，化簡可得，

∴，即，

∴，.

由，求得導函數，

∴，，，

∴，

因為點滿足，

由圓的性質可得，

∴，即直線斜率的取值范圍為.