Question

【題目】設關于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．
（1）若a是從0、1、2、3四個數中任取的一個數，b是從0、1、2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
（2）若a是從區間[0，3]內任取的一個數，b是從區間[0，2]內任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0方程有實根，∴△=4a2﹣4b2≥0，

即a≥b

∵a是從0、1、2、3四個數中任取的一個數，b是從0、1、2三個數中任取的一個數，

∴轉化為古典概率，

總的基本事件有4×3=12個，符合題意的有9個，

上述方程有實根的概率為 = ．

（2）解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，∴，△=4a2﹣4b2≥0，

即a≥b，且a∈[0，3]，b∈[0，2]，

建立幾何概率：點（a，b），

S的幾何圖形為矩形；面積為6，符合條件的圖形Ω的面積為4，

方程有實根的概率為： ．

【解析】（1）關于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，△=4a2﹣4b2≥0，轉化為古典概率求解．（2）轉化為幾何概率求解．
【考點精析】通過靈活運用二次函數在閉區間上的最值，掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，即可以解答此題．