Question

6．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且該橢圓的短軸長為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點F₂的直線l與橢圓交于M、N兩點，求△F₁MN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，求得a和b的關系，由b=2$\sqrt{3}$，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可得，設直線方程，代入橢圓方程，求得M和N的縱坐標，根據三角形的面積公式，${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，設$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，則${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，根據函數的單調性即可求得△F₁MN面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²=$\frac{4}{3}$b²，
由短軸長為2$\sqrt{3}$，得b²=3，a²=4，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設M、N點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨設y₁＞0，y₂＜0，
設直線l的方程為x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得y₁=$\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
依題意可知：${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
不妨設$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，于是${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
∵y=3t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上單調遞增，
∴${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{12}{4}$=3，
當且僅當t=1即m=0時取到，
∴當m=0時，△F₁MN面積的取最大值，最大值為3．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系，三角形面積公式的應用及函數單調性，考查計算能力，屬于中檔題．