Question

有甲、乙、丙、丁、戊5位同學；
（1）若這5位同學排成一排，則甲不能站在第一位的排法有多少種？
（2）若這5位同學排成一排，則甲乙必須相鄰，丙丁必須不相鄰的排法有多少種？
（3）若這5位同學參加唱歌、跳舞、下棋、繪畫4項比賽，每項比賽至少有一人參加，每名同學必須也只能參加一項比賽，其中甲同學不能參加跳舞比賽，共有多少種參賽方案？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，甲是特殊元素，優先分析可得甲可以站其他4個位置，共有4種站法，剩余的4人站其他4個位置，由排列數公式可得其余人的站法數目，由分步計數原理計算可得答案；
（2）根據題意，分3步來分析，先分析甲、乙，用捆綁法視為1個元素，再將其與戊排在一起，排好后有3個空位，最后用插空法將丙丁分別放進其中2個空位中，分別分析每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案；
（3）根據題意，分2種情況討論，①、甲單獨參加一項比賽，②、甲與其他人共同參加比賽，由分步計數原理分別計算每種情況的參賽方案數目，最后由分類計數原理，將兩種情況的參賽方案數目相加即可得答案．
解答：解：（1）根據題意，甲不能站在第一位，則甲可以站其他4個位置，共有4種站法，
剩余的4人站其他4個位置，有A₄⁴=24種站法，
則甲不能站在第一位的排法有4×24=96種，
（2）根據題意，甲乙必須相鄰，將甲乙視為1個元素，有2種不同的順序，
將其與戊排在一起，有2種不同的順序，
排好后有3個空位，將丙丁分別放進其中2個空位中，有A₃²=6種情況，
則甲乙必須相鄰，丙丁必須不相鄰的排法有2×2×6=24種；
（3）根據題意，若每項比賽至少有一人參加，每名同學必須也只能參加一項比賽，則必須有2人參加同一項比賽，
故分2種情況討論：
①、甲單獨參加一項比賽，由于甲不能參加跳舞比賽，則甲有3種選法，
對于剩余4人，先從中任取2人，有C₄²=6種取法，將4人分為3組，
將3組對應剩余的三項比賽，有A₃³=6種方法，
此時共有3×6×6=108種參賽方案，
②、甲與其他人共同參加比賽，甲只能與其余4人中的1人參加比賽，
由于甲不能參加跳舞比賽，則甲有3種選法，
剩余4人參加4項比賽，有A₄⁴=24種，
此時共有3×24=72種參賽方案，
則共有108+72=180種參賽方案．
點評：本題考查排列、組合的應用，（1）中注意優先分析特殊元素，（2）運用捆綁法與插空法來分析相鄰與不相鄰問題，（3）注意分類討論的應用．