Question

已知數列{a_n}滿足．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為，試求數列的前n項和T_n；
（Ⅲ）記數列的前n項積為，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a_n-1a_n+a_na_n+1=2a_n-1a_n+1，兩邊同除以a_na_n-1a_n+1即可．而，故是首項為1，公差為1的等差數列．
（II）利用b_n=即可得到b_n，可得=，利用“錯位相減法”即可得到T_n；
（III）因為．利用“累乘求積”即可得出=．進而即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由
．
而，
因此是首項為1，公差為1的等差數列．
從而．
（Ⅱ）當n=1時，．
當n≥2時，．
而b₁也符合上式，故，從而：．
所以．
將上面兩式相減，可得：．
（Ⅲ）因為．
故．
由于n≥2，n∈N^*，故，從而，即．
點評：本題考查數列的遞推公式的處理、等差數列的通項公式和前n項和求通項以及“錯位相減法”、“累乘求積”等基礎知識，突出考查了學生變形的能力，化歸與轉化的思想以及創新意識，是一道十分重視基礎但又有比較好區分度的中等題．