Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為

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的正方形，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，O為底面正方形ABCD的中心，M為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OM∥平面PCD；
（Ⅱ）當(dāng)PD=PC=1時(shí)，證明：CP⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC，則OM是三角形ACP的中位線，故有MO∥PC，從而證得 OM∥平面PCD．
 （Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PC，由勾股定理可得PD⊥PC，CP⊥平面PAD．

解答：解：（Ⅰ）連接AC，∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC中點(diǎn)． 
又∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴MO∥PC，
又∵PC?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD．
（Ⅱ）∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC．
又∵PD=PC=1，DC=

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，
∴PD⊥PC，且AD∩PD=D，∴CP⊥平面PAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，證明PD⊥PC是解題的關(guān)鍵．