Question

動圓D過定點(diǎn)A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運(yùn)動，MN為圓D在x軸上截得的弦．
（1）當(dāng)圓心D在原點(diǎn)時，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交圓D于B、C兩點(diǎn)，求△ABC的最大面積；
（2）當(dāng)圓心D運(yùn)動時，記|AM|=m，|AN|=n，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，=．由此知當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，△ABC的最大面積為．
（2）設(shè)圓心，則圓為．當(dāng)y=0時，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出的最大值．
解答：解：（1）設(shè)直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，

=
=
=
=．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，△ABC的最大面積為．
（2）設(shè)圓心，則圓為．
當(dāng)y=0時，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由
=，
∴，
∴
=2，
當(dāng)時取得最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．