Question

（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，

是正方形的中心，，平面，且

（Ⅰ）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）設為棱的中點，點在平面內，且平面，求線段的

長．

 

Answer 1

本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分.

    方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點.

    依題意得

   

   （I）解：易得，

    于是

    所以異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

   （II）解：易知

    設平面AA₁C₁的法向量，

    則即

    不妨令可得，

    同樣地，設平面A₁B₁C₁的法向量，

    則即不妨令，

可得

于是

從而

所以二面角A—A₁C₁—B的正弦值為

   （III）解：由N為棱B₁C₁的中點，

得設M（a，b，0），

則

由平面A₁B₁C₁，得

即

解得故

因此，所以線段BM的長為

方法二：

（I）解：由于AC//A₁C₁，故是異面直線AC與A₁B₁所成的角.

因為平面AA₁B₁B，又H為正方形AA₁B₁B的中心，

可得

因此

所以異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

（II）解：連接AC₁，易知AC₁=B₁C₁，

又由于AA₁=B₁A₁，A₁C₁=A₁=C₁，

所以≌，過點A作于點R，

連接B₁R，于是，故為二面角A—A₁C₁—B₁的平面角.

在中，

連接AB₁，在中，

，

從而

所以二面角A—A₁C₁—B₁的正弦值為

（III）解：因為平面A₁B₁C₁，所以

取HB₁中點D，連接ND，由于N是棱B₁C₁中點，

所以ND//C₁H且.

又平面AA₁B₁B，

所以平面AA₁B₁B，故

又

所以平面MND，連接MD并延長交A₁B₁于點E，

則

由

得，延長EM交AB于點F，

可得連接NE.

在中，

所以

可得

連接BM，在中，