Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₁=2，且其前10項和為65，又正項數列{b_n}滿足bn=

n+1

an

(n∈N*)．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）比較b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求數列{b_n}的最大項．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，則65=10a1+

10×9

2

d，再由a₁=2，得d=1，由此能夠求出數列{b_n}的通項公式．
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2，b3=

4	4

=

2

=b1，b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，由此能夠判斷b₁，b₂，b₃，b₄的大�。�
（3）猜想當n≥2時，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

．函數y=

lnx

x

(x＞e)中，y′=

1-lnx

x2

＜0，故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是減函數，所以

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

．猜想正確，因此，數列{b_n}的最大項是b2=

3	3

．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則65=10a1+

10×9

2

d，又a₁=2，得d=1，從而a_n=n+1
故bn=

n+1	n+1

．（4分）
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2，
b3=

4	4

=

2

=b1，
b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄．（8分）
（3）由（2）猜想{b_n+1}遞減，即猜想當n≥2時，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

．（10分）
考察函數y=

lnx

x

(x＞e)，
則y′=

1-lnx

x2

，∵x＞e時，lnx＞1，∴y'＜0，
故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是減函數，而n+1≥3＞e，（12分）
所以

ln(n+2)

n+2

＜

ln(n+1)

n+1

，即

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

．
猜想正確，因此，數列{b_n}的最大項是b2=

3	3

．（14分）

點評：自從導數走進高考試題中，就和函數形影不離，并且與方程、數列、解析幾何以及立體幾何等分支的知識聯姻，成為高考的一道亮麗的風景線．預計導數還會與平面向量、概率與統計等分支的知識聯合，展示其獨特的魅力．