Question

（滿分15分）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為 

（1）求橢圓的方程 

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C  D兩點  問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點E.

【解析】第一問中利用A（0，-b）和B（a，0）的坐標，設出直線方程，然后利用橢圓的性質得到

然后求解得到a,b的值。從而得到橢圓方程

第二問中，聯立方程組，直線與橢圓聯立得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理，以及以CD為直徑的圓過E點，即當且僅當CE⊥DE時，可知k的值。

解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0  依題意　解得　

∴　橢圓方程為　  ………………6分

（2）假若存在這樣的k值，由得 

　∴　  　　　①

　　設，  ，，則　②

　　而  ………………10分

　　要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即  ∴　  ③

　　將②式代入③整理解得  經驗證，，使①成立 

　　綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E  ………………15分