Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“M類數列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p&，q，若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數．
（1）求數列{a_n}前2009項的和；
（2）是否存在實數t，使得數列{a_n}是“M類數列”，如果存在，求出t；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：對于（I）因為a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，則可驗證a_n+1與a_n的關系，b_n+1與b_n的關系^*，寫出表達式，即可驗證數列{a_n}、{b_n}是否為“M類數列”．
對于（II）（1）因為a_n+a_n+1=3t•2ⁿ，可依此相加列出數列{a_n}前2009項和等式，可以看出是等比數列的求和公式求得．
（2）可假設數列{a_n}是“M類數列”，則存在實常數p，q使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，再根據題意解除t，求出對應常數即可．
解答：解：（I）因為a_n=2n，則有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故數列{a_n}是“M類數列”，對應的實常數分別為1，2．
因為b_n=3•2ⁿ，則有b_n+1=2b_nn∈N^*
故數列{b_n}是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0．
（II）（1）因為a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*）
則有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸．
故數列{a_n}前2009項的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）++（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）=2+3t•2²+3t•2⁴++3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4）
故答案為2+t（2²⁰¹⁰-4）
（2）若數列{a_n}是“M類數列”，則存在實常數p，q
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
則有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q對于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①當p=2，q=0時，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，經檢驗滿足條件．
②當t=0，q=0時，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1經檢驗滿足條件．
因此當且僅當t=1或t=0，時，數列{a_n}也是“M類數列”．對應的實常數分別為2，0，或-1，0．
點評：此題主要考查數列的概念及其簡單的表示法，由題目定義一個數列求這個數列的一系列性質的問題．題目較復雜屬于綜合題．