Question

已知正項數列{a_n}的前項和為S_n，且滿足S_n+a_n=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設，則是否存在數列{b_n}，滿足對一切正整數n都成立？若存在，請求出數列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當n=1時，S₁+a₁=1，故．---------（2分）
當n≥2時，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，所以數列{a_n}為首項為，公比為的等比數列，
所以．------（7分）
（2）因為，所以，若存在滿足題意的數列{b_n}，
則，
兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．------（12分）
由b₁•c₁=6，得到b₁=3，滿足上式．所以，存在滿足題意的數列{b_n}，
通項公式為．-------（14分）
分析：（1）當n=1時，由條件S_n+a_n=1求出首項，當n≥2時，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，可得數列是
公比為的等比數列．
（2）因為，所以，若存在滿足題意的數列{b_n}，則，兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．
經檢驗，首項也滿足，從而求得通項公式．
點評：本題主要考查等差數列的通項公式，等比數列的通項公式，屬于基礎題．