Question

已知各項均為非負實數的數列{a_n}，{b_n}滿足：對任意正整數n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求證：數列{}是等差數列；
（II） 設，當n≥2，n∈N時，試比較與T_n的大小．

Answer 1

解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，
∴，②
由②得，③
將③代入①，得對任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=，
即2=+，
∴{}是等差數列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{}是等差數列，
故，
當n≥2時，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴，（n≥2），
當n=2時，，
當n=3時，，
當n≥4時，=＞，
而，
綜上，＜T_n．
分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1，，故，所以2b_n=，由此能夠證明{}是等差數列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{}是等差數列，得，由此入手能夠證明＜T_n．
點評：本題考查等差數列的證明和不等式的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用．