Question

（2009•黃岡模擬）已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且它的圖象關于直線x=1對稱．
（1）證明：f（x）是周期為4的周期函數；（2）若f(x)=

x

(0＜x≤1)，求x∈[-5，-4]時，函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．又函數f（x）是定義在R上的奇函數，故f（x+2）=-f（x），得到f（x）是周期為4的周期函數．
（2）根據函數f（x）是定義在R上的奇函數，得到x∈[-1，0]時的解析式．當x∈[-5，-4]時，x+4∈[-1，0]，寫出解析式，得到x∈[-5，-4]時，函數f（x）的解析式．

解答：（1）證明：由函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函數f（x）是定義在R上的奇函數，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期為4的周期函數．
（2）解：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，有f（0）=0．x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，f(x)=-f(-x)=-

-x

．故x∈[-1，0]時，f(x)=-

-x

．x∈[-5，-4]時，x+4∈[-1，0]，f(x)=f(x+4)=-

-x-4

．
從而，x∈[-5，-4]時，函數f（x）的解析式為f(x)=-

-x-4

．

點評：本題考查函數奇偶性的性質，函數解析式的求解常用的方法，本題解題的關鍵是根據函數是一個奇函數對函數式進行整理，本題是一個中檔題目．