Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠BAC=90°，AB=AC．直線l與以AB為直徑的圓相切于點B．點E是圓上異于A、B的任意一點，直線AE與l相交于點D．
（Ⅰ）如果AD=10，BD=6，求DE的長；
（Ⅱ）連接CE，過E作CE的垂線交線段AB于點F．求證：BD=BF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于DB是圓的切線，因此根據切割線定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的長；
（Ⅱ）連接BE，證明△CEA∽△FEB，△ABE∽△ABD，利用AB=AC，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：∵BD是切線，AD=10，AB=8，∴BD=6，
∵DB²=DE•DA，
∴DE=3.6；
（Ⅱ）證明：連接BE，∵AB為圓的直徑，∴∠AEB=90°
∴∠CEA=∠FEB
∵A，C，E，F四點共圓
∴∠C=∠EFB
∴△CEA∽△FEB
∴

AC

BF

=

AE

BE

∵△ABE∽△ABD，∴

AE

BE

=

AB

BD

∴

AC

BF

=

AB

BD

∵AB=AC
∴BD=BF

點評：本題主要考查了切線的性質、切割線定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識點，屬于中檔題．