Question

設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（是實(shí)數(shù)）。
（1）當(dāng)時(shí)，求f(x)的解析式；
（2）若函數(shù)f(x)在（0,1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值1.

Answer 1

（1）
（2）
（3）存在使得當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值1

本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)的解析式，利用偶函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性得到結(jié)論。
（2）因?yàn)榻o定區(qū)間單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，
所以因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以
（3）對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論得到最值。
解：（1）設(shè)則   ---------1分
所以 -------2分
因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)    ----------3分
所以   ---------4分
（2）當(dāng)時(shí)，
所以
因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以  -------------6分
所以a的取值范圍是   ---------7分
（3）(i)當(dāng)時(shí)，由（2）知f（x）在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)
所以不合題意，舍去
（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（0,1]上，
令   -------------8分
由下表

	＋	0	－
	增	極大值	減

f(x)在處取得最大值 ----------9分
  -------------10分
所以   --------11分
注意到，所以符合題意 --------12分
(iii)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（0,1]上，，
所以f(x)為減函數(shù)，無(wú)最大值  --------13分
綜上所述，存在使得當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值1、