Question

設不等式x-x²≥0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若a，b∈M，試比較a³+b³與a²b+ab²的大小．
（3）當x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出不等式x-x²≥0的解集確定出集合M，
（2 ）將兩個式子作差變形，通過提取公因式化為完全平方與一個常數的積的形式，判斷符號，得出大小關系．
（3）當x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，轉化為f（x）=x（m²-1）-（2m-1）＞0恒成立，由于x∈[0，1]，故等價于

f(0)＞0 f(1)＞0

，解之即可得m的取值范圍．

解答：解：（1）原不等式即為x（1-x）≥0，所以0≤x≤1（4分）
所以不等式的解集M=[0，1]（6分）
（2）a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a²-b²）（a-b）=（a-b）²（a+b），
由（1）知a，b為正數，
∴（a-b）²≥0，a+b＞0，∴（a-b）²（a+b）≥0，∴a³+b³≥a²b+ab²．
（3）當x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，轉化為f（x）=x（m²-1）-（2m-1）＞0恒成立，
當x∈[0，1]時，等價于

f(0)＞0 f(1)＞0

即

1-2m＞0 m2-2m＞0

，?m＜0．
可得m的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，函數恒成立問題，不等關系與不等式等．用作差的方法比較兩個式子的大小，注意將差化為因式積的形式，以便于判斷符號．