Question

已知如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，、F分別為線段AB、CD的動點，且EF∥BC，G是BC的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2）．
（1）當AE為何值時，BD⊥EG；
（2）在（1）的條件下，求BD與平面ABF所成角的大小．

Answer 1

解：（1）沿EF將梯形ABCD翻折后，以EF所在直線為x軸，以EB所在直線為y軸，以EA所在的直線為z軸，建立空間坐標系，設EA=t，t∈（0，2）．
則A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．
∴=（t-2，1，t），=（2-t，1，0）．
∵BD⊥EG，
∴=0，即-（t-2）²+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．
故EA=1．
（2）在（1）的條件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，，0 ），D（0，1，1 ），
=（-1，1，1），=（-1，0 1），=（-1，，0 ）．
設平面ABF的法向量為=（a，b，1），由=0，=0，解得 a=-1，b=1，故 =（-1，1，1）．
設BD與平面ABF所成角為θ，則 sinθ=cos＜，＞===，
∴θ=arcsin ．
分析：（1）沿EF將梯形ABCD翻折后，建立空間坐標系，設EA=t，t∈（0，2），求出和的坐標，由BD⊥EG，得=0，解方程求得t的值．
（2）在（1）的條件下，求出、的坐標，設出平面ABF的法向量為的坐標，由=0，=0，解得的坐標，設BD與平面ABF所成角為θ，則由sinθ=cos＜，＞
=，運算求得結果，即可得到θ的值．
點評：本題主要考查直線和平面所成的角的定義和求法，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應用，體現了等價轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．