Question

已知點M（x₁，f（x₁））是函數f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）圖象C上的一點，記曲線C在點M處的切線為l．
（1）求切線l的方程；
（2）設l與x軸，y軸的交點分別為A、B，求△AOB周長的最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x 21

．
∴切線方程為y-

1

x1

=-

1

x 21

（x-x₁），即y=-

1

x 21

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x 21

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周長m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+( 2 x1 )2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x 21 + 1 x 21

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴當t=2，即x₁=1時，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周長的最小值是2（2+

2

）．