Question

已知函數f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，θ∈[0，2π）．
（1）當θ=

π

6

時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的范圍，使f（x）在區間[-

3

2

，

1

2

]上是單調函數．

Answer 1

分析：（1）當θ=

π

6

時，f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，利用二次函數的性質求得f（x）的最大值和最小值．
（2）因為f（x）=x²+2xsinθ-1的對稱軸為x=-sinθ，由題意可得-sinθ≤-

3

2

，或-sinθ≥

1

2

，求得sinθ的范圍，再結合θ的范圍，確定出θ的具體范圍．

解答：解：（1）當θ=

π

6

時，f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
由于x∈[-

3

2

，

1

2

]，故當x=-

1

2

時，f（x）有最小值-

5

4

；當x=

1

2

時，f（x）有最大值-

1

4

…（6分）
（2）因為f（x）=x²+2xsinθ-1的對稱軸為x=-sinθ，
又欲使f（x）在區間[-

3

2

，

1

2

]上是單調函數，則-sinθ≤-

3

2

，或-sinθ≥

1

2

，即sinθ≥

3

2

或sinθ≤-

1

2

．
因為θ∈[0，2π]，故所求θ的范圍是[

π

3

，

2π

3

]∪[

7π

6

，

11π

6

]．…（6分）

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．