如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出
的值；如果不存在，請說明理由.
(1)
平面
；（2）
；（3）
.
解析試題分析：本題主要考查線面垂直、線面平行、線線垂直、線線平行以及錐體體積問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，在
中，利用中位線得到
與
平行，通過線面平行的判斷定理即可得到平面；第二問，要求三棱錐的體積，找到底面積和高是關鍵，通過的翻折得出
平面
，通過
，得出
平面，所以
為錐體的高，利用錐體體積公式計算出體積；第三問，在線段
上取點
．使
， 過作
于
，在
中，利用邊長求出
的正切，從而確定角的度數，在等邊三角形
中，
是角平分線，所以
，再利用線面垂直的判定證出
平面
，所以
.
試題解析：（1）平面，理由如下：
如圖：在中，由
分別是
、中點，得
，
又
平面，
平面．∴平面．
（2）∵
，
，將沿
翻折成直二面角
．
∴
∴平面
取的中點
，這時 ∴平面，
，
（3）在線段上存在點，使
證明如下：在線段上取點．使， 過作于，
∵平面 ∴
平面
∴
， ∴
，
∴
在等邊
中， ∴
∵
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．
（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F,G,H分別為BP,BE,PC的中點。
（Ⅰ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且
．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA
面ABEF，且DA=1，AB//EF，
，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．
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中，
為
的中點.
∥
；
的體積.
中，
平面
，
是正三角形，
與
的交點
恰好是
，
，點
在線段
上，且
．
；
平面
；
的余弦值．
中，已知
是棱
的中點．
平面
，
∥平面
；
中，
，
是等邊三角形.
；
的大小為
，求
與平面
所成角的正弦值.