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【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意實數對(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對點集”,給出下列四個集合: ①M={(x,y)|y= };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③={(x,y)|y=2x﹣2};
④M={(x,y)|y=log2x}
其中是“垂直對點集”的序號是(
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③

【答案】D
【解析】解:由題意,若集合M={(x,y)|y=f(x)}滿足: 對于任意A(x1 , y1)∈M,存在B(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
因此 .所以,若M是“垂直對點集”,
那么在M圖象上任取一點A,過原點與直線OA垂直的直線OB總與函數圖象相交于點B.
對于①:M={(x,y)|y= },其圖象是過一、二象限,且關于y軸對稱,
所以對于圖象上的點A,在圖象上存在點B,使得OB⊥OA,所以①符合題意;
對于②:M={(x,y)|y=sinx+1},畫出函數圖象,
在圖象上任取一點A,連OA,過原點作直線OA的垂線OB,
因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展,且與x軸相切,
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交.
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直對點集”,故②符合題意;
對于③:M={(x,y)|y=2x﹣2},其圖象過點(0,﹣1),
且向右向上無限延展,向左向下無限延展,
所以,據圖可知,在圖象上任取一點A,連OA,
過原點作OA的垂線OB必與y=2x﹣2的圖象相交,即一定存在點B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直對點集”.故③符合題意;
對于④:M={x,y)|y=log2x},對于函數y=log2x,
過原點做出其圖象的切線OT(切點T在第一象限),
則過切點T做OT的垂線,則垂線必不過原點,
所以對切點T,不存在點M,使得OM⊥OT,
所以M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直對點集”;故④不符合題意.
故選:D.
【考點精析】通過靈活運用集合的表示方法-特定字母法,掌握①自然語言法:用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內表示集合.③描述法:{|具有的性質},其中為集合的代表元素.④圖示法:用數軸或韋恩圖來表示集合即可以解答此題.

練習冊系列答案
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