【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意實數對(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對點集”,給出下列四個集合: ①M={(x,y)|y= };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③={(x,y)|y=2x﹣2};
④M={(x,y)|y=log2x}
其中是“垂直對點集”的序號是( )
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
【答案】D
【解析】解:由題意,若集合M={(x,y)|y=f(x)}滿足: 對于任意A(x1 , y1)∈M,存在B(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
因此 .所以,若M是“垂直對點集”,
那么在M圖象上任取一點A,過原點與直線OA垂直的直線OB總與函數圖象相交于點B.
對于①:M={(x,y)|y= },其圖象是過一、二象限,且關于y軸對稱,
所以對于圖象上的點A,在圖象上存在點B,使得OB⊥OA,所以①符合題意;
對于②:M={(x,y)|y=sinx+1},畫出函數圖象,
在圖象上任取一點A,連OA,過原點作直線OA的垂線OB,
因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展,且與x軸相切,
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交.
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直對點集”,故②符合題意;
對于③:M={(x,y)|y=2x﹣2},其圖象過點(0,﹣1),
且向右向上無限延展,向左向下無限延展,
所以,據圖可知,在圖象上任取一點A,連OA,
過原點作OA的垂線OB必與y=2x﹣2的圖象相交,即一定存在點B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直對點集”.故③符合題意;
對于④:M={x,y)|y=log2x},對于函數y=log2x,
過原點做出其圖象的切線OT(切點T在第一象限),
則過切點T做OT的垂線,則垂線必不過原點,
所以對切點T,不存在點M,使得OM⊥OT,
所以M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直對點集”;故④不符合題意.
故選:D.
【考點精析】通過靈活運用集合的表示方法-特定字母法,掌握①自然語言法:用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內表示集合.③描述法:{|
具有的性質},其中
為集合的代表元素.④圖示法:用數軸或韋恩圖來表示集合即可以解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若函數在
處取得極大值或極小值,則稱
為函數
的極值點.
設函數,
.
(1)若有兩個極值點
,且滿足
,求
的值及
的取值范圍;
(2)若在
處的切線與
的圖象有且只有一個公共點,求
的值;
(3)若,且對滿足“函數
與
的圖象總有三個交點
”的任意實數
,都有
成立,求
滿足的條件.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 命題“若x2-4x+3=0,則x=3”的逆否命題是:“若x≠3,則x2-4x+3≠0”
B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件
C. 若p且q為假命題,則p、q均為假命題
D. 命題p:“x0∈R使得+x0+1<0”,則
p:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列結論錯誤的是 ( )
A. 若“且
”與“
或
”均為假命題,則
真
假.
B. 命題“存在”的否定是“對任意
”
C. “”是“
”的充分不必要條件.
D. “若則a<b”的逆命題為真.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】對于定義域為D的函數y=f(x),如果存在區間[m,n]D,其中m<n,同時滿足:①f(x)在[m,n]內是單調函數;②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n]. 則稱函數f(x)是區間[m,n]上的“保值函數”,區間[m,n]稱為“保值區間”.
(1)求證:函數g(x)=x2﹣2x不是定義域[0,1]上的“保值函數”.
(2)若函數f(x)=2+ ﹣
(a∈R,a≠0)是區間[m,n]上的“保值函數”,求a的取值范圍.
(3)對(2)中函數f(x),若不等式|a2f(x)|≤2x對x≥1恒成立,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實數m的最大值;
(2)當a< 時,函數g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,修建一條公路需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環湖彎曲路段為某三次函數圖像的一部分,則該函數的解析式為( )
A. B.
C. D.
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