Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數對（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”，給出下列四個集合： ①M={（x，y）|y= }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直對點集”的序號是（ ）
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}滿足： 對于任意A（x1 ， y1）∈M，存在B（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此 ．所以，若M是“垂直對點集”，
那么在M圖象上任取一點A，過原點與直線OA垂直的直線OB總與函數圖象相交于點B．
對于①：M={（x，y）|y= }，其圖象是過一、二象限，且關于y軸對稱，
所以對于圖象上的點A，在圖象上存在點B，使得OB⊥OA，所以①符合題意；
對于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數圖象，
在圖象上任取一點A，連OA，過原點作直線OA的垂線OB，
因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點集”，故②符合題意；
對于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其圖象過點（0，﹣1），
且向右向上無限延展，向左向下無限延展，
所以，據圖可知，在圖象上任取一點A，連OA，
過原點作OA的垂線OB必與y=2x﹣2的圖象相交，即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直對點集”．故③符合題意；
對于④：M={x，y）|y=log2x}，對于函數y=log2x，
過原點做出其圖象的切線OT（切點T在第一象限），
則過切點T做OT的垂線，則垂線必不過原點，
所以對切點T，不存在點M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直對點集”；故④不符合題意．
故選：D．
【考點精析】通過靈活運用集合的表示方法-特定字母法，掌握①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合即可以解答此題．