Question

如圖，點A在直線x=5上移動，等腰△OPA的頂角∠OPA為120°（O，P，A按順時針方向排列），求點p的極坐標的軌跡方程．

Answer 1

解：取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線x=5的極坐標方程為ρcosθ=5，
設A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），
因點A在直線ρcosθ=5上，故ρ₀cosθ₀=5，（1）
又因三角形OPA為等腰三角形，且∠OPA為120°，而|OP|=ρ，|OA|=ρ₀，
以及∠POA為30°，∴ρ₀=，且θ₀=θ-30°，（2）
把（2）代入（1）得，
點P的極坐標的軌跡方程．
分析：先建立適當的極坐標系：取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，將直線x=5的極坐標方程為ρcosθ=5，再設A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），最后利用題設條件建立ρ，θ的關系式即得點P的極坐標的軌跡方程．
點評：考查學生極坐標與直角坐標的轉化，以及怎樣求點的軌跡方程的方法．屬于基礎題．