Question

如圖，已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C₂的短軸為MN，且C₁，C₂的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C₁交于兩點(diǎn)，與C₂交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D。

（1）設(shè)e=，求|BC|與|AD|的比值；
（2）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由。

Answer 1

解：（1）因?yàn)镃₁，C₂的離心率相同，故依題意可設(shè)
，
設(shè)直線，分別與C₁，C₂的方程聯(lián)立
求得，
當(dāng)時(shí)，a，分別用表示A，B的縱坐標(biāo)，可知
；
（2）t=0時(shí)的l不符合題意；
時(shí)，BO∥AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，
即 ，
解得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110921/20110921091623062911.gif">，又
所以
解得，
所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO∥AN；
當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO∥AN。