Question

有人提出如下的圓周率的近似算法：在下圖的單位正方形內(nèi)均勻地取n個(gè)點(diǎn)p_i(x_i,y_i)(i∈{1,2,…,n}),然后統(tǒng)計(jì)出以x_i,y_i,1為邊長(zhǎng)的三角形中銳角三角形的個(gè)數(shù)m，則當(dāng)n充分大時(shí)，π≈，試分析這種算法是否正確.

Answer 1

思路解析：通過(guò)計(jì)算以x_i,y_i,1為邊長(zhǎng)的銳角三角形的概率，可得到與圓周率π的等式，再根據(jù)隨機(jī)數(shù)的知識(shí)分析.

解：根據(jù)題目中提出的算法，有0＜x_i＜1,0＜y_i＜1，

所以以x_i,y_i,1為邊長(zhǎng)的三角形中，長(zhǎng)為1的邊所對(duì)角A為最大角，

當(dāng)且僅當(dāng)0°＜A＜90°時(shí)，以x_i,y_i,1為邊長(zhǎng)的三角形為銳角三角形，x_i²+y_i²＞1，所以在圖中的單位正方形內(nèi)任意取一點(diǎn)P_i，滿足以x_i,y_i,1為邊長(zhǎng)的三角形為銳角三角形的概率為P=陰影部分的面積/單位正方形的面積=1-，當(dāng)n充分大時(shí)，≈P=1-，所以π≈4(1-)=，所以題中給出的圓周率的近似算法是正確的.