Question

某食品廠對生產的某種食品按行業標準分成五個不同等級，等級系數X依次為A，B，C，D，E．現從該種食品中隨機抽取20件樣品進行檢驗，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：

X	A	B	C	D	E
頻率	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）在所抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，等級系數為E的恰有2件，求a，b，c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將等級系數為D的3件樣品記為x₁，x₂，x₃，等級系數為E的2件樣品記為y₁，y₂，現從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂這5件樣品中一次性任取兩件（假定每件樣品被取出的可能性相同），試寫出所有可能的結果，并求取出的兩件樣品是同一等級的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據頻率=分別求出b與c的值，然后根據所求頻率和為1，可求出a的值；
（II）列出從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，所有可能的結果，然后找出從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，其等級系數相等的結果，根據古典概型的概率公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因為抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，所以．
等級系數為E的恰有2件，所以．
從而a=0.35-b-c=0.1．
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，所有可能的結果為：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，y₁），（x₁，y₂），（x₂，x₃），（x₂，y₁）（x₃，y₂）
，（x₂，y₂），（x₃，y₁），，（y₁，y₂），共計10個
設事件A表示“從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，其等級系數相等”，
則A包含的基本事件為：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₂，x₃），（y₁，y₂），共4個．
故所求的概率．---------------------------------------（12分）
點評：本題主要考查了頻率分布表，以及利用列舉法計算基本事件及其發生的概率，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．