Question

（2013•河?xùn)|區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sinx+cos（x-

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）設(shè)△ABC中，角A、B的對邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）先展開，再利用輔助角公式化簡，即可求f（x）的最大值；
（2）因為b=2af（A-

π

6

），由（1）和正弦定理，化簡可得tanA=

3

3

，從而可求A，B，C的大小．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

sin(x+

π

6

)，…（4分）
所以f（x）的最大值

3

．         …（6分）
（2）因為b=2af（A-

π

6

），由（1）和正弦定理，得sinB=2

3

sin²A．…（7分）
又B=2A，所以sin2A=2

3

sin²A，即sinAcosA=

3

sin²A，…（9分）
而A是三角形的內(nèi)角，所以sinA≠0，故cosA=

3

sinA，∴tanA=

3

3

，…（11分）
所以A=

π

6

，B=2A=

π

3

，C=π-A-B=

π

2

．   …（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理的運用，考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題．