Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA₁的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PQ與B₁C所成角的大小；
（2）若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為，求四棱錐C-BAPB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線PQ與B₁C的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線PQ與B₁C所成角的大小；
（2）連接CQ．由AC=BC，由已知中，Q是AB的中點(diǎn)，AA₁⊥面ABC，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA₁，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB₁A₁，故CQ即為四棱錐C-BAPB₁的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
解答：解：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)CC₁=AC=BC=2．
依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2）．
于是，，=（0，-2，-2）．
由，
則異面直線PQ與B₁C所成角的大小為．
（2）連接CQ．由AC=BC，Q是AB的中點(diǎn)，得CQ⊥AB；
由AA₁⊥面ABC，CQ?面ABC，得CQ⊥AA₁．
又AA₁∩AB=A，因此CQ⊥面ABB₁A₁
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為⇒CC₁=AC=BC=1．可得．
所以，四棱錐C-BAPB₁的體積為．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，而（2）的關(guān)鍵是根據(jù)線面垂直的判定定理，得到CQ為棱錐的高．