Question

已知函數（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區間D上的函數y=g（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂，總有不等式成立，則稱函數y=g（x）為區間D上的“凸函數”．試證當a≥0時，f（x）為“凸函數”．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；再利用參數分離法求出a的范圍．
（2）這是一道研究“凸函數”問題，本題的關鍵是證明出，這需要充分利用不等式的性質以及基本不等式進行放縮與轉化．
解答：解：（Ⅰ）由，得．（2分）
由函數f（x）為[1，+∞）上單調增函數，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=，上述問題等價于a≥g（x）_max．
而g（x）=為在[1，+∞）上的減函數，則．
于是為所求．（6分）
（Ⅱ）證明：由，
得
=．．
而．①
∵a≥0，∴．（9分）
又（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴．②（11分）
∵，∴．
∴．③（13分）
由①、②、③，得．
即，從而由凸函數的定義可知函數f（x）為凸函數．（14分）
點評：本小題主要考查函數的導數、不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，本題包含了對新定義的概念的理解，是一道創新題．