Question

已知函數f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，數列{a_n}，{b_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+1（n∈N^*），．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{b_n}的前n項和T_n，并求使得對任意n∈N^*都成立的最大正整數m；
（Ⅲ）求證：N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據Ⅰ可求出a₁的值且得到數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，進而根據等比數列的通項公式可得到a_n+1=2×2^n-1，進而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根據，可得到，進而根據裂項法可得到T_n的值，再由可知T_n＜T_n+1，故當n=1時，T_n取得最小值，要使得對任意n∈N^*都成立只要T₁=即可，從而可求出m的值．
（Ⅲ）根據對任意n≥1恒成立，再由放縮法可得到N^*），進而可得證．
解答：解：（Ⅰ）由題意a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∵a₁=1，
∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．
∴a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵，
∴=．
∵，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴當n=1時，T_n取得最小值．
由題意得，
∴m＜10．
∵m∈Z，
∴m=9．
（Ⅲ）證明：∵，
∴．
點評：本題主要考查求數列通項公式、裂項法求數列前n項和、用放縮法證明不等式的問題．考查基礎知識的綜合運用和計算能力．