Question

20．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，-1≤x≤1}\\{1+lo{g}_{（{a}^{2}-1）}（2x），2≤x≤8}\end{array}\right.$的值域是[2，5]，則實數a的取值是$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用分段函數的解析式，通過函數的值域，列出關系式，然后轉化求解實數a的取值．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，-1≤x≤1}\\{1+lo{g}_{（{a}^{2}-1）}（2x），2≤x≤8}\end{array}\right.$的值域是[2，5]，
可得：2≤1+$lo{g}_{{a}^{2}-1}（2x）$≤5，
即：-1≤$lo{g}_{{a}^{2}-1}（2x）$≤4，2x∈[4，16]
當a²-1≥1即a$≥\sqrt{2}$或a$≤-\sqrt{2}$時，可得$lo{g}_{{a}^{2}-1}4=1$，$lo{g}_{{a}^{2}-1}16=4$，解得a=$±\sqrt{3}$，
當a²-1＜1即a∈（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）時$lo{g}_{{a}^{2}-1}4=4$，解得a²-1=$\sqrt{2}$，可得a=$±\sqrt{1+\sqrt{2}}$舍去．
故答案為：$±\sqrt{3}$．

點評 本題考查分段函數的應用，復合函數的單調性以及函數的值域的求法，考查轉化思想以及計算能力．