Question

在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱錐的體積V_S－ABC.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC. 由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，  由三垂線定理，得SC⊥BC. （Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC ∴∠SCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角. 在Rt△SCB中，BC=5，SB=5.  得SC==10 在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA= ∴∠SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°. （Ⅲ）解：在Rt△SAC中， ∵SA=. S△ABC=·AC·BC=×5×5=. ∴VS－ABC=·S△ACB·SA=.