Question

 （本小題滿分１３分）

已知拋物線的頂點為坐標原點，橢圓的對稱軸是坐標軸，拋物線在軸上的焦點恰好是橢圓的焦點

（Ⅰ）若拋物線和橢圓都經過點,求拋物線和橢圓的方程；

（Ⅱ）已知動直線過點，交拋物線于兩點，直線：被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求拋物線的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過的拋物線的兩條切線的交點的軌跡為,直線與軌跡交于點,求的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）設拋物線的方程為：，拋物線經過點則

拋物線的方程為：其焦點為_￥￥

故可設橢圓的焦點為和，

橢圓的方程為：               （3分)

（2）設則的中點，以為直徑的圓的半徑為

 ，設到直線：的距離為

 則

設直線：被以為直徑的圓截得的弦為,則： 

=

由于為定值，所以所以

拋物線的方程為：                      （8分)

（3）設，利用導數法或判別式法可求得的方程分別為

，若則

，故

又因為過點，所以所以

即的軌跡為的方程為，交于點

； 

當且僅當即時取等號；

所以的最小值為。                         （13分）