Question

已知函數的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象。

（Ⅰ）求函數與的解析式

（Ⅱ）是否存在，使得按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）求實數與正整數，使得在內恰有2013個零點

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）當，時，函數在內恰有個零點

【解析】（Ⅰ）由函數的周期為，，得

又曲線的一個對稱中心為，

故，得，所以

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數

（Ⅱ）當時，，

所以

問題轉化為方程在內是否有解

設，

則

因為，所以，在內單調遞增

又，

且函數的圖象連續不斷，故可知函數在內存在唯一零點，

即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，，令

當，即時，，從而不是方程的解，所以方程等價于關于的方程，

現研究時方程解的情況

令，

則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況

，令，得或

當變化時，和變化情況如下表

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

故當時，直線與曲線在內有無交點，在內有個交點；

當時，直線與曲線在內有個交點，在內無交點；

當時，直線與曲線在內有個交點，在內有個交點

由函數的周期性，可知當時，直線與曲線在內總有偶數個交點，從而不存在正整數，使得直線與曲線在內恰有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，由周期性，，所以

綜上，當，時，函數在內恰有個零點

三角函數解析式的確定相對而言應該比較容易，也就是說即使是20題的第一問往往難度也不會太大，而我們同學可能因為時間的關系而丟掉了撿分的機會，所以建議大家可以先試看看此問是否熟悉，再做整體規劃。三角函數的圖像變換要千萬注意左右平移只對x而言。而第二問對于是否等比的轉化是處理的關鍵，所以函數思想無處不在，要善于運用。第三問從特殊到一般的思想是此問的靈魂，而此法的選擇也因為參數分離后三角函數的周期性，所以萬物皆有聯系，只是平時要練就一雙慧眼就不簡單了。

【考點定位】 本題考查了三角函數的性質、恒等變換、圖像以及函數的零點。將函數的所有性質依托于三角函數展示，并且對多方面能力的綜合考查。屬于難題，但第一問是送給學生的。