Question

（本小題滿分12分）等差數列中，，公差是自然數，等比數列中， （Ⅰ）試找出一個的值，使的所有項都是中的項；再找出一個的值，使 的項不都是中的項（不必證明）；（Ⅱ）判斷時，是否所有的項都是中的項，并證明你的結論；（Ⅲ）探索當且僅當取怎樣的自然數時，的所有項都是中的項，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) ， (Ⅱ)  見解析（Ⅲ）見解析

（1）時，的項都是中的項；（任一非負偶數均可）;
時，的項不都是中的項．（任一正奇數均可）;
（2）時，
的項一定都是中的項
（3）當且僅當取（即非負偶數）時，的項都是中的項．
理由是：①當時，時，
，其中
是的非負整數倍，設為（），只要取即（為正整數）即可得，
即的項都是中的項；②當時，不是整數，也不可能
是的項．