Question

已知數列{a_n}滿足a1=

1

2

，2an+1-an=1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求和S_n=a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}滿足a1=

1

2

，2an+1-an=1，可得數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，從而利用等比數列的通項公式，可求{a_n}的通項公式；
（2）利用等比數列的求和公式，即可求和．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，2an+1-an=1=2-1，2an+1-2=an-1，2(an+1-1)=an-1，（2分）
∴

an+1-1

an-1

=

1

2

，a1-1=

1

2

-1=-

1

2

（5分）
∴數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，（6分）
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，（7分）
∴an=1-(

1

2

)n．                                          （8分）
（2）證明：∵Sn=a1+a2+…+an=n-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]（11分）
=n-

1 2 - 1 2 ×( 1 2 )n

1- 1 2

（13分）
=n-1+(

1

2

)n（14分）

點評：本題以數列遞推式為載體，考查等比數列的判定，考查等比數列的通項，考查數列的求和，證明數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列是關鍵．