Question

將數列{a_n}中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
記表中的第一列數a₁，a₄，a₈，…，構成數列{b_n}．
（Ⅰ）設b₈=a_m，求m的值；
（Ⅱ）若b₁=1，對于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0．求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列{b_n}，若上表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為q（q＞0）的等比數列，且a₆₆=

2

5

，求上表中第k（k∈N^*）行所有項的和s（k）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件可以知道，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43．
（Ⅱ）根據題意知

bn+1

bn

=

n

n+1

，因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，將各式相乘得bn=

1

n

．
（Ⅲ）設上表中每行的公比都為q，表中第1行至第9行共含有數列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有項的和s（k）．

解答：解：（Ⅰ）由題意，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43，（4分）
（Ⅱ）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令t=

bn+1

bn

得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以

bn+1

bn

=

n

n+1

（8分）
因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

將各式相乘得bn=

1

n

（10分）
（Ⅲ）設上表中每行的公比都為q，且q＞0．
因為3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有數列b_n的前63項，
故a₆₆在表中第10行第三列，（14分）
因此a66=b10•q2=

2

5

．又b10=

1

10

，所以q=2．則S(k)=

bk(1-qk+2)

1-q

=

1

k

(2k+2-1)．k∈N^*（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．