Question

已知橢圓經過 點，且離心率為，右頂點為A，左右焦點分別為F₁，F₂；橢圓C₂以坐標原點為中心，且以F₁F₂為短軸端，上頂點為D．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂交于M、N、P、Q四點，當AD∥F₂B時，求四邊形MNPQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓經過點，且離心率為，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）C₂的短軸長為2，設方程為（m＞1），利用AD∥F₂B，可得C₂的方程，與橢圓方程聯立，根據對稱性，可得四邊形MNPQ的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓經過點，且離心率為，∴e=，b=
∴a=2，∴橢圓C₁的方程為；
（Ⅱ）C₂的短軸長為2，設方程為（m＞1）
∴D（0，m），A）2，0），F₂（1，0）
∵AD∥F₂B，∴m=
∴C₂的方程為
設N（x₁，y₁），則，解得，∴|x₁y₁|=
∴根據對稱性，可得四邊形MNPQ的面積為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查面積的計算，考查學生的計算能力，確定橢圓的方程是關鍵．