Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．
（1）求通項公式an；
（2）求數列{|an﹣n﹣2|}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

當n≥2時，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

兩式相減得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，當n=1時，a1=1，a2=3，

滿足an+1=3an，

∴ =3，則數列{an}是公比q=3的等比數列，

則通項公式an=3n﹣1

（2）

解：an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

設bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

則b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

當n≥3時，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

則bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此時數列{|an﹣n﹣2|}的前n項和Tn=3+ ﹣ = ，

則Tn= ．

【解析】（1）根據條件建立方程組關系，求出首項，利用數列的遞推關系證明數列{an}是公比q=3的等比數列，即可求通項公式an；（2）討論n的取值，利用分組法將數列轉化為等比數列和等差數列即可求數列{|an﹣n﹣2|}的前n項和．本題主要考查遞推數列的應用以及數列求和的計算，根據條件建立方程組以及利用方程組法證明列{an}是等比數列是解決本題的關鍵．求出過程中使用了轉化法和分組法進行數列求和．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．