Question

橢圓的離心率等于

1

2

，且與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦點，
（1）求雙曲線的焦點坐標；           
（2）求此橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據題中雙曲線的方程算出c=5，即可得到此雙曲線的焦點坐標；
（2）由雙曲線的焦點在x軸上，結合題意設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據平方關系與離心率的公式建立關于a、b的方程組，解之即可得到橢圓的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1中，c=

16+9

=5，
∴雙曲線的焦點為（±5，0）．
（2）∵橢圓的離心率等于

1

2

，且與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦點，
∴設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

c a = a2-b2 a = 1 2 a2-b2 =5

，解之得a²=100且b²=75．
因此，所求橢圓的方程為

x2

100

+

y2

75

=1．

點評：本題給出焦點相同的橢圓與雙曲線，在已知橢圓的離心率與雙曲線的方程情況下求橢圓的方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程及其簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．